Zoeken


Secundair onderwijs - Tweede graad TSO - Wiskunde - Uitgangspunten

1. Krachtlijnen

1.1 Wiskunde in een veranderende samenleving

1.1.1 Wiskunde en de maatschappij

Enerzijds is er in onze (technologisch georiŽnteerde) maatschappij een grote vraag naar praktisch bruikbare en concrete wiskunde, en anderzijds kan de abstractie van wiskunde soms hoog zijn. In het vak wiskunde bestaat een wisselwerking tussen theorievorming en de bruikbaarheid ervan voor het oplossen van concrete problemen.

1.1.2 Wiskunde en de leerling

Kennisverwerving en -verwerking is een actief, sociaal proces waarvoor een minimale motivatie vereist is. Het ontdekken en opbouwen van wiskunde door de leerling gebeurt bij voorkeur door te vertrekken van voor de leerling betekenisvolle inhouden; de verworven kennis en vaardigheden moeten met inzicht worden toegepast in diverse situaties.

1.1.3 De eigenheid van het wiskundig denken

Wiskunde biedt de mogelijkheid om modellen op te bouwen waarmee verschijnselen, processen en verbanden kunnen worden beschreven, voorspeld en verklaard. Het is ondermeer eigen aan wiskunde de samenhang tussen wiskundige begrippen en wiskundige modellen te vergelijken, te ordenen en te funderen en daaruit maximaal voordeel te halen.

1.1.4 Consequenties voor het wiskundeonderwijs

Het is wenselijk dat de verschillende facetten van wiskunde in het wiskundeonderwijs aan bod komen, in overeenstemming met de eigenheid van de onderwijsvorm. De combinatie van deze verschillende facetten kan er toe leiden dat de zinvolle ontwikkeling van wiskundige kennis, denkwijzen en werkmethodes voor elke leerling optimaal kan verlopen.

1.2 Het wiskundeonderwijs

1.2.1 Situatieschets

In het wiskundeonderwijs wordt een horizontale en een verticale component onderscheiden. De horizontale gaat uit van waarnemingen, ervaringen, problemen en hypothesen. De verticale component besteedt vooral aandacht aan abstrahering en structurering. Beide componenten komen aan bod door te werken met een spiraalopbouw. Dit model brengt met zich mee dat niet elk onderdeel van wiskunde dat wordt aangevat, meteen wordt afgewerkt. De onderdelen komen meermaals aan bod, op een steeds hoger, meer gestructureerd niveau.

Dit biedt onderstaande voordelen voor de leerling:

  • de leerling verwerft geleidelijk de typische manier van denken en werken, eigen aan elk onderdeel (meetkunde, getallenleer, algebra, statistiek en kansrekenen, analyse, );
  • er wordt aandacht besteed aan de weg die voert naar de theorie;
  • als de leerling een niveau niet of foutief verwerkt, dan is dit niet zo dramatisch als bij een eenmalige behandeling. De leerling kan aanpikken bij een vorig niveau en verder werken aan de verticale opbouw van het onderdeel;
  • de drempel naar wiskunde wordt verlaagd. Dit geeft de kans om reeds in het beginstadium te werken aan de samenhang tussen de verschillende onderdelen van wiskunde.

1.2.2 Voortschrijdende abstrahering

Bij nieuwe wiskundige kennisopbouw is het belangrijk voldoende en uiteenlopende concrete aanknopingspunten te zoeken. Door een abstract begrip met voldoende voorbeelden te onderbouwen blijft de kennis minder geÔsoleerd. Bij het verbinden van nieuwe ervaringen met het begrip of bij het niet meer behoorlijk functioneren van het begrip, kan de leerling terugvallen op die voorbeelden. Naast de ontwikkeling van de begrippen worden er tevens vaardigheden, rekenregels en algoritmen ontwikkeld. Geleidelijk komt men tot theorievorming. Er wordt ingegaan op het formuleren van definities, eigenschappen en stellingen en op de nood aan bewijzen.

1.2.3 Interactie en reflectie

Deze voortschrijdende abstrahering veronderstelt interactie tussen de leraar en de leerling en tussen de leerlingen onderling. Communicatie tussen deze partners bevordert het inzicht. De wiskundige denkprocessen worden hierdoor geŽxpliciteerd en verder verfijnd. Het gebruik van de wiskundetaal speelt hierbij een rol.

De leerling wordt zo verplicht te reflecteren over zijn denkproces. Er dienen een aantal keuzes gemaakt te worden die resulteren in een planning. Tussentijdse controles hebben een sturend effect en kunnen leiden tot koerswijzigingen. Bij het uitblijven van resultaten dient er gezocht te worden naar oorzaken. Bekomen resultaten dienen te worden geŽvalueerd.

Het belang van reflectie bij de vorming zit er ondermeer in dat:

  • de leerling zijn handelen kritisch leert analyseren;
  • de leerling minder afhankelijk wordt van anderen;
  • het denken aan planmatigheid wint;
  • oplossingsmethoden onderzocht worden op generaliseerbaarheid;
  • het denken flexibeler wordt.

1.3 De maatschappij

1.3.1 Omgaan met data

In onze maatschappij wordt zeer veel informatie aangeboden via beelden. Binnen wiskunde moet de leerling leren omgaan met de wiskundige verwerking van informatie in tabellen met getallen, grafieken, diagrammen en schema's. De leerlingen leren functioneel gebruik maken van verbanden tussen grootheden aan de hand van deze voorstellingen. Deze vaardigheden kunnen worden toegepast in andere vakken.

1.3.2 Gebruik van informatietechnologie

Door de snelle ontwikkelingen in de informatie- en communicatietechnologie kunnen berekeningen en grafische voorstellingen gemakkelijker worden uitgevoerd. Hierdoor kan men andere klemtonen leggen. De leerlingen moeten vlot een zakrekenmachine kunnen hanteren. De zakrekenmachine en wiskundige software kunnen ook als leermiddel aangewend worden.

Het is de bedoeling daar waar ict kan helpen, hetzij om rekentechnische problemen te verlichten, hetzij om inzicht bij te brengen, ict ook zinvol te gaan gebruiken. Ook al staat niet in iedere eindterm die verwijzing naar ict, toch is het de bedoeling het, daar waar nuttig, in te schakelen.

1.3.3 Transfer en probleemoplossend denken

Door het vlugge tempo waarmee de samenleving verandert, is het belangrijk dat de leerlingen de nodige soepelheid ontwikkelen om snel en efficiŽnt allerhande problemen op te lossen. De wendbaarheid van opgedane wiskundekennis wordt belangrijk. Die wendbaarheid kan verhoogd worden als wiskundige begrippen en vaardigheden herkenbaar en toepasbaar zijn in andere vakken in het bijzonder in wetenschappelijke en technische toepassingen uit de realiteit. Eenzelfde methode of redenering kan ingezet worden in verschillende domeinen van de samenleving.

Naast de kennis van het vakdomein zijn er ook een aantal inhoudsvrije vaardigheden, zoekstrategieŽn die vooral hun diensten bewijzen bij het vertalen van de situatie in een wiskundig herkenbaar probleem. Tenslotte zijn er vaardigheden om het oplossingsproces behendig te sturen en te controleren (zie interactie en reflectie).

Een goede probleemoplosser moet beschikken over domeinspecifieke kennis, probleemoplossende vaardigheden en zelfregulerende vaardigheden.

1.4 De leerling

1.4.1 Motivatie

De motivatie van de leerling kan verhoogd worden door er voor te zorgen dat het vak als nuttig, zinvol en boeiend ervaren wordt. Het nut komt tot uiting in de bruikbaarheid en de toepassingsgerichtheid. Wiskunde wordt zinvoller als men vertrekt van herkenbare situaties, van voorbeelden aangepast aan het bevattingsvermogen en inspelend op de belevingswereld van de leerlingen. Als de leerlingen actief betrokken worden bij de opbouw van hun wiskundige kennis en vaardigheden, zullen zij de zin van theorievorming beter inzien.

Het boeiende wordt bereikt als de leerlingen in bewondering kunnen staan voor de schoonheid en de perfectie van een meetkundige figuur, de helderheid van een redenering en de elegantie van een formule. Probleemsituaties stellen een uitdaging voor de leerling.

1.4.2 Zelfvertrouwen

Als de leerlingen ontdekken dat ze bekwaam zijn om hun groeiende wiskundekennis te gebruiken in nieuwe situaties, groeit hun vertrouwen en worden ze zelfzekerder. Vertrekken van relatief eenvoudige problemen, die ze zelfstandig kunnen oplossen, moedigt hen aan om zelfstandig nieuwe, meer complexe oefeningen aan te pakken.

1.4.3 Waarden en attitudes

De leerlingen moeten ervaren dat wiskunde praktisch nut heeft, dat ze een vormende en esthetische waarde heeft. Aandacht voor de ontwikkeling van wiskunde doet hen inzien dat het vak een belangrijke cultuurcomponent was en nog steeds is. Zo kunnen de leerlingen wiskunde ervaren als een dynamische wetenschap.

Leerlingen leren kritisch te staan tegenover allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen, ... Ze zijn bereid een probleem zelf aan te pakken. Het leren door vallen en opstaan mag niet ontmoedigend werken. Uit fouten en verkeerde keuzes kan eveneens geleerd worden. De leerlingen verwerven de attitude om op hun oplossingsproces terug te blikken en hun resultaat te toetsen. Ze ervaren het oplossingsproces als even waardevol als het resultaat.

2. Funderende doelstellingen

  1. Een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: leren omgaan met symbolen, formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde, analyse en statistiek kan ontwikkelen.
  2. Een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te ordenen en te structureren.
  3. Cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier hanteren.
  4. Omgaan met de wiskunde als taal.
  5. Zelfstandigheid en vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen.
  6. Verbanden leggen tussen de wiskundige leerinhouden en andere vakdisciplines.
  7. Technische hulpmiddelen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken.
  8. Ervaren dat de wiskunde een dynamische wetenschap is.
  9. Zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen.
  10. Ervaren dat de wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.

3. Selectiecriteria en structurering van de eindtermen

3.1 Selectiecriteria

Bij het selecteren van de eindtermen werden als voornaamste criteria gehanteerd: de maatschappelijke relevantie van wiskunde, wiskunde als cultuurelement en de aansluiting met de eindtermen van de eerste graad. Bij het opstellen van de eindtermen van de tweede graad werden eveneens curriculum-standaarden uit het buitenland (Nederland, Verenigde Staten, ) bestudeerd naar relevantie en vergeleken met de doelstellingen die in Vlaanderen werden vooropgesteld. De resulterende (eigen) visie werd tenslotte vertaald in verschillende categorieŽn zoals:

  • het verwerven van inzichten in domeinspecifieke kenniselementen;
  • het ontwikkelen van vaardigheden en attitudes om deze inzichten te verwerven en aan te wenden;
  • het ontwikkelen van een affectieve betrokkenheid t.o.v. wiskunde;
  • het leren gebruiken van technologieŽn ter ondersteuning van de kennisverwerving.

In de hier beschreven basisvorming bevat de wiskundevorming haar essentiŽle kenmerken met name de samenhang tussen de nieuwe kenniselementen, het relateren van nieuwe kennis aan reeds verworven kennis, de relatie met andere vakgebieden en de verwevenheid met vaardigheden en het hanteren van procedures. In verschillende inhoudsgebonden thema's wordt de noodzaak beklemtoond om de verworven kennis aan te wenden in het oplossen van vraagstukken. Er wordt geen theoretische diepgang nagestreefd, maar de nadruk ligt op intuÔtieve benaderingen van de belangrijke basisbegrippen. Ict biedt een substantiŽle ondersteuning.

De vaardigheden en attitudes waarvan hierboven sprake hebben specifieke doelstellingen binnen het vak wiskunde. Bovendien is wiskunde het medium bij uitstek waarbinnen ze extra kunnen getraind worden om zo de transfer naar andere vakgebieden te bewerkstelligen. Het betreft voornamelijk probleemoplossende vaardigheden, het redeneren en argumenteren, nauwkeurigheid en kritische zin en zelfregulatie bij het beoefenen van wiskunde.

3.2 Structurering

De eindtermen worden onderverdeeld in volgende rubrieken:

  • algemeen;
  • rekenen en schatten;
  • algebraÔsche verbanden;
  • meetkunde;
  • statistiek.

Deze volgorde en indeling hebben uiteraard geen didactische consequentie en zijn niet bindend voor de uitwerking van de eindtermen in een leerplan.

4. CoŲrdinatie

4.1 Verticale samenhang

Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke opbouw en verdieping. Wat in het basisonderwijs en de eerste graad van het secundair onderwijs is verworven, wordt verder uitgediept. Daarnaast komen nieuwe inhouden aan bod die op hun beurt in de derde graad verder worden ontwikkeld.

Het onderdeel 'algebra' dat zich in de eerste graad nog in een embryonaal stadium bevond, wordt in de tweede graad verder uitgebouwd rond het aspect 'algebraÔsche verbanden'. Deze rubriek focust op de gebruikersaspecten van algebra. De samenhang tussen het werken met tabellen met cijfergegevens en de bijbehorende grafische voorstelling staat centraal. Het leren verwoorden en het omgaan met formules worden hier gezien als een hulpmiddel om efficiŽnt met deze getalsmatige en grafische voorstellingswijzen om te gaan. Het nieuwe onderdeel 'eerstegraadsfuncties' levert een conceptuele basis voor het beschrijven van lineaire verbanden.

De getallenleer uit de eerste graad wordt in de tweede graad toegespitst op het functioneel gebruik van de zakrekenmachine, het schattend rekenen en het kiezen van de geschikte bewerkingen en rekentechnieken rekening houdende met een gegeven probleem.

In meetkunde wordt vooral het tekenen, rekenen en redeneren met behulp van meetkundige begrippen en eigenschappen vooropgezet. De meetkunde wordt gezien als een ondersteunend instrument bij de aanpak van realiteits- en vakgebonden problemen waarbij het technisch-praktische gebruikersaspect vooropstaat.

De initiatie in de beschrijvende statistiek uit de eerste graad krijgt een vervolg in de tweede graad. Via het onderzoek van frequenties en diverse grafische voorstellingen wordt het nut belicht van elementaire centrum- en spreidingsmaten. Het aflezen ervan en het trekken van conclusies naar de bijbehorende situatie primeert op het berekenen zelf. Op die wijze tracht men tegemoet te komen aan een aantal maatschappelijke verwachtingen met betrekking tot dataverwerking.

Het doelmatig gebruik van de zakrekenmachine zal geleidelijk aan uitgebreid worden met de grafische zakrekenmachine en het leren omgaan met wiskundige software.

Voorbeelden

  1. De leerlingen kunnen de begrippen "schaal", en "gemiddelde" aan de hand van concrete voorbeelden verwoorden. (Lager onderwijs: wiskunde, eindterm 2.4.)

    De leerlingen kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor niet gegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden. (Eerste graad SO: wiskunde, eindterm 17.)

    De leerlingen gebruiken in betekenisvolle situaties mediaan, gemiddelde en kwartielen van statistische gegevens bij het trekken van conclusies. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 29.)

    De leerlingen kunnen het gemiddelde en de standaardafwijking gebruiken als karakteristieken van een normale verdeling. (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 16.)
  2. De leerlingen kunnen vergelijkingen van de eerste graad met ťťn onbekende oplossen. (Eerste graad SO: wiskunde, eindterm 21.)

    De leerlingen lossen problemen op waarbij verbanden beschreven worden door twee eerstegraadsvergelijkingen. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 25.)

    De leerlingen kunnen problemen, waarbij een functioneel verband gegeven is, oplossen en die oplossing interpreteren (eventueel met behulp van ict). (Derde graad SO: wiskunde, eindterm 13.)

4.2 Horizontale samenhang

Het belang van een samenhangend curriculum werd reeds onderstreept in het basisonderwijs en in de eerste graad van het secundair onderwijs. Dit is niet anders in de tweede graad. Door de verdere uitbouw van een goed georganiseerd kennisbestand, gekoppeld aan bijbehorende vaardigheden en attitudes, ontstaan er steeds meer aanknopingspunten met andere vakken en vakoverschrijdende thema's.

Het voorgestelde wiskundecurriculum biedt op de eerste plaats ondersteuning voor andere theoretische, technische en praktische vakken. Vooral de algebraÔsche verbanden en de toegepaste en rekentechnische invulling van meetkunde schept veel mogelijkheden tot inkleuring naar aanverwante technische en praktische vakken. Het onderdeel 'statistiek' gekoppeld aan 'algebraÔsche verbanden' creŽert mogelijkheden voor de meer humaanwetenschappelijke en verzorgende vakken en de vakoverschrijdende thema's. De invulling van de vlakke en ruimtemeetkunde levert tevens een bijdrage tot het uitbouwen van de technische en artistieke component van vakken met een eerder kunstzinnig profiel.

Omgekeerd leveren de andere vakken en vakoverschrijdende thema's uitdagende contexten en problemen om het vak wiskunde breder te situeren binnen de verschillende cultuurcomponenten.

Voorbeelden

  1. De leerlingen geven de samenhang aan tussen verschillende voorstellingswijzen van het verband tussen variabelen, m.n. verwoording, tabel, grafiek en formule van het verband tussen variabelen. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 22.)

    De leerlingen kunnen samenhangen in schema's of andere ordeningsmiddelen weergeven. (Tweede graad SO: natuurwetenschappen, eindterm 12.)
  2. De leerlingen passen probleemoplossende vaardigheden toe. (Tweede graad SO: wiskunde, eindterm 2.)

    De leerlingen kunnen probleemoplossingsstrategieŽn toepassen en de resultaten evalueren. (Tweede graad SO: leren leren, eindterm 5.)

naar boven

Laatst gewijzigd op: 05/12/2014